Circles

[yenapple]

• 문제 이름: Circles
• 문제 출처: IMO 2002 6번

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n >= 3 은 양의 정수라 하고, C_1, C_2, .. C_n은 각각 O_1, ...O_n을 중심으로 갖는 평면 위의 단위원이라고 하자. 세 개 이상의 원과 만나는 직선이 존재하지 않을 때, 다음을 보여라:
Sigma (1 <= i < j <= n) 1/ O_iO_j <= (n-1)pi/4

[20chan]

IMO 계속 도전하는거임? 멋있다

[yenapple]

[yenapple]

이래 해서 된건데 문제에서 요구하는 bound 가 (n-1) * pi/4 라서 이걸론 부족함
"뭔가 저 조건 하에서 자기가 가진 쎄타들의 합이 pi/2가 아니라 pi/4보다 작은 원이 반드시 존재" 이런게 숨겨져 있는거 아닐까

[yenapple]

사진 설명을 하자면 n이 3 이상이면 일단 두 원이 만난다 가정하면 저래 되버려서 조건에 어긋나니까 모든 원은 서로 안 만난다,

그리고 1/O_iO_j 를 삼각비(sin) 으로 해석한 다음에 양의 x 에서 sinx <= x 인 점을 이용하고 세 원 이상을 지나는 직선이 없다는 걸 이용해서 각도들의 합에 bound를 준거임