docs: update 数学/计算方法/7 Lagrange 插值

Author: TouHikari

数学/计算方法/10 数值微分/index.md

@@ -4,8 +4,7 @@
 
 ### 一阶两点公式
 
-::: tip 给定两个等距节点，求节点处的一阶导数
-:::
+给定两个等距节点，求节点处的一阶导数：
 
 $$
 f'(x_0)\approx \frac{f(x_1)-f(x_0)}{h}
@@ -17,8 +16,7 @@ $$
 
 ## 一阶三点公式
 
-::: tip 给定三个等距节点，求节点处的一阶导数
-:::
+给定三个等距节点，求节点处的一阶导数：
 
 $$
 f'(x_0)\approx \frac{-3f(x_0)+4f(x_1)-f(x_2)}{2h}

数学/计算方法/6 JGS 迭代法/index.md

@@ -57,7 +57,6 @@ JGS 迭代法的改进之处在于，它在每次迭代中每解一个方程，
 
   > [!WARNING] 注意
   > 此处的 $L$ 和 $U$ 与 [矩阵的 LU 分解](../4%20矩阵的%20LU%20分解/index.html) 中的 $L$ 和 $U$ 不同！
-  > :::
 
 - 常数向量 $\boldsymbol{b}$：
   $$

数学/计算方法/7 Lagrange 插值/index.md

@@ -0,0 +1,59 @@
+# Lagrange 插值
+
+## 插值函数
+
+**Lagrange 插值函数**：
+
+$$L(x)=y_0l_0(x)+y_1l_1(x)+y_2l_2(x)+\cdots+y_il_i(x)+\cdots+y_nl_n(x)$$
+
+**其插值基函数**：
+
+$$l_i(x)=\prod_{j=0,j\neq i}^n\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$$
+
+::: info 例题及其解析
+
+> [!INFO] 例
+> 已知 $f(0)=0$，$f(1)=1$，$f(4)=2$，建立 Lagrange 二次插值多项式，求 $f(2)$ 的近似值。
+
+Lagrange 二次插值多项式：
+
+$$L_2(x)=f(0)l_0(x)+f(1)l_1(x)+f(4)l_2(x)$$
+
+其中，
+
+$$l_0(x)=\frac{x-x_1}{x_0-x_1}\cdot \frac{x-x_2}{x_0-x_2}$$
+
+$$l_1(x)=\frac{x-x_0}{x_1-x_0}\cdot \frac{x-x_2}{x_1-x_2}$$
+
+$$l_2(x)=\frac{x-x_0}{x_2-x_0}\cdot \frac{x-x_1}{x_2-x_1}$$
+
+代入整理化简：
+
+$$L_2(x)=-\frac{1}{6}x^2+\frac{7}{6}x$$
+
+所以
+
+$$f(2)\approx L_2(2)=1.6667$$
+:::
+
+::: danger 注意
+给定 $n+1$ 个互异节点，其不超过 $n$ 次的插值多项式**存在且唯一**（无论哪种插值方法）。
+:::
+
+## 插值余项（误差）
+
+$$R_n(x)=f(x)-L(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\omega_{n+1}(x)$$
+
+其中，$f(x)$ 为原函数，
+
+$L(x)$ 为 $[a,b]$ 上 $f(x)$ 的 $n$ 次插值多项式函数，
+
+$\xi$ 为 $[a,b]$ 上的某个数，
+
+$\omega_{n+1}(x)=(x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_n)$ 为 $n+1$ 次多项式。
+
+## 性质
+
+1. 若这 $n$ 个插值节点**符合一个不超过 $n$ 次的多项式**，则 Lagrange 插值多项式 $L(x)$ **就是这个多项式本身**。
+2. Lagrange 基函数具有**单位分解特性**，即：
+   对 $[x_0,x_n]$ 间任一点 $x$，有 $\sum_{i=1}^{n}l_i(x)=1$。

数学/计算方法/9 曲线最小二乘拟合/index.md

@@ -29,25 +29,25 @@ $$
 写为 $A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 形式：
 
 $$
-\begin{bmatrix}
+\underset{A}{\begin{bmatrix}
  1 & 19 & 19^2\\
  1 & 25 & 25^2\\
  1 & 31 & 31^2\\
  1 & 38 & 38^2\\
  1 & 44 & 44^2
-\end{bmatrix}
-\begin{bmatrix}
+\end{bmatrix}}
+\underset{\boldsymbol{x}}{\begin{bmatrix}
  a_1\\
  a_2\\
  a_3
-\end{bmatrix} =
-\begin{bmatrix}
+\end{bmatrix}} =
+\underset{\boldsymbol{b}}{\begin{bmatrix}
  19.0\\
  32.3\\
  49.0\\
  73.3\\
  97.8
-\end{bmatrix}
+\end{bmatrix}}
 $$
 
 称这个无解的方程组为**矛盾方程组**。
@@ -61,21 +61,21 @@ $$
 即
 
 $$
-\begin{bmatrix}
+\underset{A^TA}{\begin{bmatrix}
  5 & 157 & 5327\\
  157 & 5327 & 192331\\
  5327 & 192331 & 7277699
-\end{bmatrix}
-\begin{bmatrix}
+\end{bmatrix}}
+\underset{\boldsymbol{x}}{\begin{bmatrix}
  a_1\\
  a_2\\
  a_3
-\end{bmatrix} =
-\begin{bmatrix}
+\end{bmatrix}} =
+\underset{\boldsymbol{A^Tb}}{\begin{bmatrix}
  271.4\\
  9776.1\\
  369321.5
-\end{bmatrix}
+\end{bmatrix}}
 $$
 
 解出这个正规方程组的解 $\boldsymbol{x}=\begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3 \end{bmatrix}$，即为答案。

数学/计算方法/index.md

@@ -22,6 +22,8 @@
 
 ### 6 [JGS 迭代法](6%20JGS%20迭代法/index.html)
 
+### 7 [Lagrange 插值](7%20Lagrange%20插值/index.html)
+
 ### 9 [曲线最小二乘拟合](9%20曲线最小二乘拟合/index.html)
 
 ### 10 [数值微分](10%20数值微分/index.html)