From 1e2fe14b0580443ad1d7f404a67dfd9e76053c85 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Esteban Date: Wed, 28 May 2025 15:37:32 -0600 Subject: [PATCH 1/2] =?UTF-8?q?Se=20agrega=20transcipci=C3=B3n=20de=20Este?= =?UTF-8?q?ban=20Arag=C3=B3n=20Herrera,=20C10475?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- docs/4_13_3_funciones_distribucion.md | 91 ++++++++++++++++++++++++++- 1 file changed, 90 insertions(+), 1 deletion(-) diff --git a/docs/4_13_3_funciones_distribucion.md b/docs/4_13_3_funciones_distribucion.md index aca3625..221f719 100644 --- a/docs/4_13_3_funciones_distribucion.md +++ b/docs/4_13_3_funciones_distribucion.md @@ -4,4 +4,93 @@ ### Secciones - Funciones de distribución de un proceso aleatorio (22 - 28) -- Independencia estadística (29) \ No newline at end of file +- Independencia estadística (29) + +### Presentación + +[13 - Procesos aleatorios](https://www.overleaf.com/read/qmfpvhzfjfdy#c270c9) + +### Secciones +- Funciones de distribución de un proceso aleatorio (22 - 28) +- Independencia estadística (29) + +# Funciones de distribución de un proceso aleatorio + +## Función de probabilidad acumulativa de primer orden + +Para un tiempo particular $t_1$, la función de probabilidad acumulativa asociada con la variable aleatoria $X_1 = X(t_1)$, será denotada $F_{X}(x_1; t_1)$ y es conocida más precisamente como la función acumulativa de primer orden del proceso $X(t)$. Se le define como + +$$ F_{X}(x_1; t_1) = P( X(t_1) \leq x_1) $$ + +para cualquier número real $x_1$. + +## Función de probabilidad acumulativa de segundo orden + +Para dos variables aleatorias $X_1 = X(t_1)$ y $X_2 = X(t_2)$, la función acumulativa conjunta de segundo orden es la extensión bidimensional de la fórmula anterior: + +$$ F_{X}(x_1, x_2;t_1,t_2) = P\{X(t_1) \leq x_1, X(t_2) \leq x_2\} $$ + +De manera similar, para $N$ variables aleatorias $X_i = X(t_i), i = 1, 2, \ldots, N$, la función acumulativa conjunta de orden $N$ es + +$$ F_{X}(x_1, \ldots, x_N; t_1, \ldots, t_N) = P\{X(t_1) \leq x_1, \ldots, X(t_N) \leq x_N\} $$ + +## Funciones de densidad de probabilidad + +Las funciones de densidad conjunta de interés se encuentran de las derivadas apropiadas de las tres fórmulas anteriores: + +$$ +\begin{aligned} + f_{X}(x_1;t_1) & = \frac{\partial}{\partial x_1} F_{X}(x_1;t_1) \\ + f_{X}(x_1, x_2; t_1, t_2) & = \frac{\partial^2 F_{X}(x_1, x_2; t_1,t_2)}{\partial x_1 \partial x_2} \\ + f_{X}(x_1, \ldots, x_{N}; t_1, \ldots, t_N) & = \frac{\partial^{N} F_{X}(x_1, \ldots, x_N; t_1, \ldots, t_{N})}{\partial x_1 \cdots \partial x_N} +\end{aligned} +$$ + +## Ejemplo de función de densidad de un proceso con función exponencial + +¿Cuál es la función de densidad para este proceso aleatorio definido con anterioridad? + +$$ X(t) = A e^{-t} u(t) $$ + +donde $A$ es una variable aleatoria discreta que puede tomar los valores $\{ 1, 2, 3 \}$ con igual probabilidad. + +![Familia de funciones del proceso aleatorio](images/13_proceso_aleatorio_expon_unit.svg) +*Figura: Familia de funciones del proceso aleatorio $X(t)$* + +La función de densidad probabilística $f_X(x,t)$ puede deducirse analizando que: + +- En $t = 1$ el proceso aleatorio $X(1)$ puede tomar los valores $e^{-1}$, $2e^{-1}$ o $3e^{-1}$, cada uno con probabilidad $\frac{1}{3}$, por tanto + +$$ f_X(x,1) = \frac{1}{3} \delta (x - e^{-1}) + \frac{1}{3} \delta (x - 2e^{-1}) + \frac{1}{3} \delta (x - 3e^{-1}) $$ + +![Función de densidad en t=1](images/13_dist_uniforme.svg) +*Figura: Función de densidad de probabilidad para el tiempo $t = 1$* + +- Esto se puede generalizar para cualquier $t$ como + +$$ f_X(x,t) = \frac{1}{3} \delta (x - e^{-t}) + \frac{1}{3} \delta (x - 2e^{-t}) + \frac{1}{3} \delta (x - 3e^{-t}) $$ + +La función de densidad, por tanto, es una _secuencia_ de funciones definidas para cada instante de tiempo (ya sea discreto o continuo). + +- De la misma forma, puede definirse la función de densidad **conjunta** para dos variables aleatorias $X(t_1)$ y $X(t_2)$, que vienen del mismo proceso aleatorio pero en dos instantes de tiempo $t_1$ y $t_2$, + +$$ +\begin{aligned} +f_X(x_1,x_2,t_1,t_2) = & \frac{1}{3} \delta (x_1 - e^{-t_1}, x_2 - e^{-t_2}) \\ + & + \frac{1}{3} \delta (x_1 - 2e^{-t_1}, x_2 - 2e^{-t_2}) \\ + & + \frac{1}{3} \delta (x_1 - 3e^{-t_1}, x_2 - 3e^{-t_2}) +\end{aligned} +$$ + +# Independencia estadística + +## Independencia estadística + +Dos procesos $X(t)$ e $Y(t)$ son estadísticamente independientes si el grupo de variables aleatorias $X(t_1), X(t_2), \ldots, X(t_N)$ es independiente del grupo $Y(t_1'), Y(t_2'), \ldots, Y(t_M')$ para cualquier escogencia de tiempos $t_1, t_2, \ldots, t_N$, $t_1', t_2', \ldots, t_M'$. La independencia requiere que la densidad conjunta sea factorizable por grupos: + +$$ +\begin{aligned} + & f_{X,Y}(x_1, \ldots, x_N, y_1, \ldots, y_M; t_1, \ldots, t_N, t_1', \ldots, t_M') = \\ + & f_{X}(x_1, \ldots, x_N; t_1, \ldots, t_N) \cdot f_{Y}(y_1, \ldots, y_M; t_1', \ldots, t_M') +\end{aligned} +$$ \ No newline at end of file From f7f74df8dbb054e4e46d6f01b18420ca96fc8fa1 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Esteban Aragon Date: Mon, 16 Jun 2025 00:29:45 -0600 Subject: [PATCH 2/2] Agregando correciones de transcripcion Signed-off-by: Esteban Aragon --- docs/4_13_3_funciones_distribucion.md | 181 +++++++++++++------------- 1 file changed, 90 insertions(+), 91 deletions(-) diff --git a/docs/4_13_3_funciones_distribucion.md b/docs/4_13_3_funciones_distribucion.md index 221f719..cda555e 100644 --- a/docs/4_13_3_funciones_distribucion.md +++ b/docs/4_13_3_funciones_distribucion.md @@ -1,96 +1,95 @@ -### Presentación - -[13 - Procesos aleatorios](https://www.overleaf.com/read/qmfpvhzfjfdy#c270c9) - -### Secciones -- Funciones de distribución de un proceso aleatorio (22 - 28) -- Independencia estadística (29) - -### Presentación - -[13 - Procesos aleatorios](https://www.overleaf.com/read/qmfpvhzfjfdy#c270c9) - -### Secciones -- Funciones de distribución de un proceso aleatorio (22 - 28) -- Independencia estadística (29) - # Funciones de distribución de un proceso aleatorio -## Función de probabilidad acumulativa de primer orden - -Para un tiempo particular $t_1$, la función de probabilidad acumulativa asociada con la variable aleatoria $X_1 = X(t_1)$, será denotada $F_{X}(x_1; t_1)$ y es conocida más precisamente como la función acumulativa de primer orden del proceso $X(t)$. Se le define como - -$$ F_{X}(x_1; t_1) = P( X(t_1) \leq x_1) $$ - -para cualquier número real $x_1$. - -## Función de probabilidad acumulativa de segundo orden - -Para dos variables aleatorias $X_1 = X(t_1)$ y $X_2 = X(t_2)$, la función acumulativa conjunta de segundo orden es la extensión bidimensional de la fórmula anterior: - -$$ F_{X}(x_1, x_2;t_1,t_2) = P\{X(t_1) \leq x_1, X(t_2) \leq x_2\} $$ - -De manera similar, para $N$ variables aleatorias $X_i = X(t_i), i = 1, 2, \ldots, N$, la función acumulativa conjunta de orden $N$ es - -$$ F_{X}(x_1, \ldots, x_N; t_1, \ldots, t_N) = P\{X(t_1) \leq x_1, \ldots, X(t_N) \leq x_N\} $$ - -## Funciones de densidad de probabilidad - -Las funciones de densidad conjunta de interés se encuentran de las derivadas apropiadas de las tres fórmulas anteriores: - -$$ -\begin{aligned} - f_{X}(x_1;t_1) & = \frac{\partial}{\partial x_1} F_{X}(x_1;t_1) \\ - f_{X}(x_1, x_2; t_1, t_2) & = \frac{\partial^2 F_{X}(x_1, x_2; t_1,t_2)}{\partial x_1 \partial x_2} \\ - f_{X}(x_1, \ldots, x_{N}; t_1, \ldots, t_N) & = \frac{\partial^{N} F_{X}(x_1, \ldots, x_N; t_1, \ldots, t_{N})}{\partial x_1 \cdots \partial x_N} -\end{aligned} -$$ - -## Ejemplo de función de densidad de un proceso con función exponencial - -¿Cuál es la función de densidad para este proceso aleatorio definido con anterioridad? - -$$ X(t) = A e^{-t} u(t) $$ - -donde $A$ es una variable aleatoria discreta que puede tomar los valores $\{ 1, 2, 3 \}$ con igual probabilidad. - -![Familia de funciones del proceso aleatorio](images/13_proceso_aleatorio_expon_unit.svg) -*Figura: Familia de funciones del proceso aleatorio $X(t)$* - -La función de densidad probabilística $f_X(x,t)$ puede deducirse analizando que: - -- En $t = 1$ el proceso aleatorio $X(1)$ puede tomar los valores $e^{-1}$, $2e^{-1}$ o $3e^{-1}$, cada uno con probabilidad $\frac{1}{3}$, por tanto - -$$ f_X(x,1) = \frac{1}{3} \delta (x - e^{-1}) + \frac{1}{3} \delta (x - 2e^{-1}) + \frac{1}{3} \delta (x - 3e^{-1}) $$ - -![Función de densidad en t=1](images/13_dist_uniforme.svg) -*Figura: Función de densidad de probabilidad para el tiempo $t = 1$* - -- Esto se puede generalizar para cualquier $t$ como - -$$ f_X(x,t) = \frac{1}{3} \delta (x - e^{-t}) + \frac{1}{3} \delta (x - 2e^{-t}) + \frac{1}{3} \delta (x - 3e^{-t}) $$ - -La función de densidad, por tanto, es una _secuencia_ de funciones definidas para cada instante de tiempo (ya sea discreto o continuo). - -- De la misma forma, puede definirse la función de densidad **conjunta** para dos variables aleatorias $X(t_1)$ y $X(t_2)$, que vienen del mismo proceso aleatorio pero en dos instantes de tiempo $t_1$ y $t_2$, - -$$ -\begin{aligned} -f_X(x_1,x_2,t_1,t_2) = & \frac{1}{3} \delta (x_1 - e^{-t_1}, x_2 - e^{-t_2}) \\ - & + \frac{1}{3} \delta (x_1 - 2e^{-t_1}, x_2 - 2e^{-t_2}) \\ - & + \frac{1}{3} \delta (x_1 - 3e^{-t_1}, x_2 - 3e^{-t_2}) -\end{aligned} -$$ +!!! tip "Función de probabilidad acumulativa de primer orden" + Para un tiempo particular $t_1$, la función de probabilidad acumulativa asociada con la variable aleatoria $X_1 = X(t_1)$, será denotada $F_{X}(x_1; t_1)$ y es conocida más precisamente como la función acumulativa de primer orden del proceso $X(t)$. Se le define como + + \begin{equation} + F_{X}(x_1; t_1) = P( X(t_1) \leq x_1) + \end{equation} + + para cualquier número real $x_1$. + +!!! tip "Función de probabilidad acumulativa de segundo orden" + Para dos variables aleatorias $X_1 = X(t_1)$ y $X_2 = X(t_2)$, la función acumulativa conjunta de segundo orden es la extensión bidimensional de la fórmula anterior: + + \begin{equation} + F_{X}(x_1, x_2;t_1,t_2) = P\{X(t_1) \leq x_1, X(t_2) \leq x_2\} + \end{equation} + + De manera similar, para $N$ variables aleatorias $X_i = X(t_i), i = 1, 2, \ldots, N$, la función acumulativa conjunta de orden $N$ es + + \begin{equation} + F_{X}(x_1, \ldots, x_N; t_1, \ldots, t_N) = P\{X(t_1) \leq x_1, \ldots, X(t_N) \leq x_N\} + \end{equation} + +!!! tip "Funciones de densidad de probabilidad" + Las funciones de densidad conjunta de interés se encuentran de las derivadas apropiadas de las tres fórmulas anteriores: + + \begin{aligned} + f_{X}(x_1;t_1) & = \frac{\partial}{\partial x_1} F_{X}(x_1;t_1) \\ + f_{X}(x_1, x_2; t_1, t_2) & = \frac{\partial^2 F_{X}(x_1, x_2; t_1,t_2)}{\partial x_1 \partial x_2} \\ + f_{X}(x_1, \ldots, x_{N}; t_1, \ldots, t_N) & = \frac{\partial^{N} F_{X}(x_1, \ldots, x_N; t_1, \ldots, t_{N})}{\partial x_1 \cdots \partial x_N} + \end{aligned} + +--- + +:material-pencil-box: **EJEMPLO** + +!!! example "Función de densidad de un proceso con función exponencial" + **Problema:** + ¿Cuál es la función de densidad para este proceso aleatorio? + + $$ X(t) = A e^{-t} u(t) $$ + + donde $A$ es una variable aleatoria discreta que puede tomar los valores $\{ 1, 2, 3 \}$ con igual probabilidad. + + ![Familia de funciones del proceso aleatorio](images/13_proceso_aleatorio_expon_unit.svg) + + **Solución:** + La función de densidad probabilística $f_X(x,t)$ puede deducirse analizando que: + + - En $t = 1$ el proceso aleatorio $X(1)$ puede tomar los valores $e^{-1}$, $2e^{-1}$ o $3e^{-1}$, cada uno con probabilidad $\frac{1}{3}$, por tanto: + + $$ f_X(x,1) = \frac{1}{3} \delta (x - e^{-1}) + \frac{1}{3} \delta (x - 2e^{-1}) + \frac{1}{3} \delta (x - 3e^{-1}) $$ + + ![Función de densidad en t=1](images/13_dist_uniforme.svg) + + - Esto se puede generalizar para cualquier $t$ como: + + $$ f_X(x,t) = \frac{1}{3} \delta (x - e^{-t}) + \frac{1}{3} \delta (x - 2e^{-t}) + \frac{1}{3} \delta (x - 3e^{-t}) $$ + + La función de densidad es una _secuencia_ de funciones definidas para cada instante de tiempo (discreto o continuo). + + - Para la función de densidad **conjunta** en dos tiempos $t_1$ y $t_2$: + + $$ + \begin{aligned} + f_X(x_1,x_2,t_1,t_2) = & \frac{1}{3} \delta (x_1 - e^{-t_1}, x_2 - e^{-t_2}) \\ + & + \frac{1}{3} \delta (x_1 - 2e^{-t_1}, x_2 - 2e^{-t_2}) \\ + & + \frac{1}{3} \delta (x_1 - 3e^{-t_1}, x_2 - 3e^{-t_2}) + \end{aligned} + $$ + + **Conclusión:** + La función de densidad para cualquier tiempo $t$ es: + + !!! note "" + $$ f_X(x,t) = \frac{1}{3} \delta (x - e^{-t}) + \frac{1}{3} \delta (x - 2e^{-t}) + \frac{1}{3} \delta (x - 3e^{-t}) $$ + +--- # Independencia estadística -## Independencia estadística - -Dos procesos $X(t)$ e $Y(t)$ son estadísticamente independientes si el grupo de variables aleatorias $X(t_1), X(t_2), \ldots, X(t_N)$ es independiente del grupo $Y(t_1'), Y(t_2'), \ldots, Y(t_M')$ para cualquier escogencia de tiempos $t_1, t_2, \ldots, t_N$, $t_1', t_2', \ldots, t_M'$. La independencia requiere que la densidad conjunta sea factorizable por grupos: - -$$ -\begin{aligned} - & f_{X,Y}(x_1, \ldots, x_N, y_1, \ldots, y_M; t_1, \ldots, t_N, t_1', \ldots, t_M') = \\ - & f_{X}(x_1, \ldots, x_N; t_1, \ldots, t_N) \cdot f_{Y}(y_1, \ldots, y_M; t_1', \ldots, t_M') -\end{aligned} -$$ \ No newline at end of file +!!! tip "Independencia estadística" + Dos procesos $X(t)$ e $Y(t)$ son estadísticamente independientes si para cualquier elección de tiempos: + + $$ t_1, t_2, \ldots, t_N \quad \text{y} \quad t_1', t_2', \ldots, t_M' $$ + + el grupo de variables aleatorias $X(t_1), \ldots, X(t_N)$ es independiente del grupo $Y(t_1'), \ldots, Y(t_M')$. Esto requiere que: + + $$ + \begin{aligned} + & f_{X,Y}(x_1, \ldots, x_N, y_1, \ldots, y_M; t_1, \ldots, t_N, t_1', \ldots, t_M') = \\ + & f_{X}(x_1, \ldots, x_N; t_1, \ldots, t_N) \cdot f_{Y}(y_1, \ldots, y_M; t_1', \ldots, t_M') + \end{aligned} + $$ \ No newline at end of file