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Se agrega transcipción de Esteban Aragón Herrera, C10475 #42

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Se agrega transcipción de Esteban Aragón Herrera, C10475 #42

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1e2fe14
Se agrega transcipción de Esteban Aragón Herrera, C10475
EstebanA07 May 28, 2025
f7f74df
Agregando correciones de transcripcion
EstebanA07 Jun 16, 2025
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98 changes: 93 additions & 5 deletions docs/4_13_3_funciones_distribucion.md
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@@ -1,7 +1,95 @@
### Presentación
# Funciones de distribución de un proceso aleatorio

[13 - Procesos aleatorios](https://www.overleaf.com/read/qmfpvhzfjfdy#c270c9)
!!! tip "Función de probabilidad acumulativa de primer orden"
Para un tiempo particular $t_1$, la función de probabilidad acumulativa asociada con la variable aleatoria $X_1 = X(t_1)$, será denotada $F_{X}(x_1; t_1)$ y es conocida más precisamente como la función acumulativa de primer orden del proceso $X(t)$. Se le define como

\begin{equation}
F_{X}(x_1; t_1) = P( X(t_1) \leq x_1)
\end{equation}

para cualquier número real $x_1$.

### Secciones
- Funciones de distribución de un proceso aleatorio (22 - 28)
- Independencia estadística (29)
!!! tip "Función de probabilidad acumulativa de segundo orden"
Para dos variables aleatorias $X_1 = X(t_1)$ y $X_2 = X(t_2)$, la función acumulativa conjunta de segundo orden es la extensión bidimensional de la fórmula anterior:

\begin{equation}
F_{X}(x_1, x_2;t_1,t_2) = P\{X(t_1) \leq x_1, X(t_2) \leq x_2\}
\end{equation}

De manera similar, para $N$ variables aleatorias $X_i = X(t_i), i = 1, 2, \ldots, N$, la función acumulativa conjunta de orden $N$ es

\begin{equation}
F_{X}(x_1, \ldots, x_N; t_1, \ldots, t_N) = P\{X(t_1) \leq x_1, \ldots, X(t_N) \leq x_N\}
\end{equation}

!!! tip "Funciones de densidad de probabilidad"
Las funciones de densidad conjunta de interés se encuentran de las derivadas apropiadas de las tres fórmulas anteriores:

\begin{aligned}
f_{X}(x_1;t_1) & = \frac{\partial}{\partial x_1} F_{X}(x_1;t_1) \\
f_{X}(x_1, x_2; t_1, t_2) & = \frac{\partial^2 F_{X}(x_1, x_2; t_1,t_2)}{\partial x_1 \partial x_2} \\
f_{X}(x_1, \ldots, x_{N}; t_1, \ldots, t_N) & = \frac{\partial^{N} F_{X}(x_1, \ldots, x_N; t_1, \ldots, t_{N})}{\partial x_1 \cdots \partial x_N}
\end{aligned}

---

:material-pencil-box: **EJEMPLO**

!!! example "Función de densidad de un proceso con función exponencial"
**Problema:**
¿Cuál es la función de densidad para este proceso aleatorio?

$$ X(t) = A e^{-t} u(t) $$

donde $A$ es una variable aleatoria discreta que puede tomar los valores $\{ 1, 2, 3 \}$ con igual probabilidad.

![Familia de funciones del proceso aleatorio](images/13_proceso_aleatorio_expon_unit.svg)

**Solución:**
La función de densidad probabilística $f_X(x,t)$ puede deducirse analizando que:

- En $t = 1$ el proceso aleatorio $X(1)$ puede tomar los valores $e^{-1}$, $2e^{-1}$ o $3e^{-1}$, cada uno con probabilidad $\frac{1}{3}$, por tanto:

$$ f_X(x,1) = \frac{1}{3} \delta (x - e^{-1}) + \frac{1}{3} \delta (x - 2e^{-1}) + \frac{1}{3} \delta (x - 3e^{-1}) $$

![Función de densidad en t=1](images/13_dist_uniforme.svg)

- Esto se puede generalizar para cualquier $t$ como:

$$ f_X(x,t) = \frac{1}{3} \delta (x - e^{-t}) + \frac{1}{3} \delta (x - 2e^{-t}) + \frac{1}{3} \delta (x - 3e^{-t}) $$

La función de densidad es una _secuencia_ de funciones definidas para cada instante de tiempo (discreto o continuo).

- Para la función de densidad **conjunta** en dos tiempos $t_1$ y $t_2$:

$$
\begin{aligned}
f_X(x_1,x_2,t_1,t_2) = & \frac{1}{3} \delta (x_1 - e^{-t_1}, x_2 - e^{-t_2}) \\
& + \frac{1}{3} \delta (x_1 - 2e^{-t_1}, x_2 - 2e^{-t_2}) \\
& + \frac{1}{3} \delta (x_1 - 3e^{-t_1}, x_2 - 3e^{-t_2})
\end{aligned}
$$

**Conclusión:**
La función de densidad para cualquier tiempo $t$ es:

!!! note ""
$$ f_X(x,t) = \frac{1}{3} \delta (x - e^{-t}) + \frac{1}{3} \delta (x - 2e^{-t}) + \frac{1}{3} \delta (x - 3e^{-t}) $$

---

# Independencia estadística

!!! tip "Independencia estadística"
Dos procesos $X(t)$ e $Y(t)$ son estadísticamente independientes si para cualquier elección de tiempos:

$$ t_1, t_2, \ldots, t_N \quad \text{y} \quad t_1', t_2', \ldots, t_M' $$

el grupo de variables aleatorias $X(t_1), \ldots, X(t_N)$ es independiente del grupo $Y(t_1'), \ldots, Y(t_M')$. Esto requiere que:

$$
\begin{aligned}
& f_{X,Y}(x_1, \ldots, x_N, y_1, \ldots, y_M; t_1, \ldots, t_N, t_1', \ldots, t_M') = \\
& f_{X}(x_1, \ldots, x_N; t_1, \ldots, t_N) \cdot f_{Y}(y_1, \ldots, y_M; t_1', \ldots, t_M')
\end{aligned}
$$