From 4a4b4f40c3a64fcc63ea194956e01ed471810dc7 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: KaGC97 Date: Wed, 28 May 2025 14:42:28 -0600 Subject: [PATCH] Update 4_13_4_estacionaridad.md --- docs/4_13_4_estacionaridad.md | 240 +++++++++++++++++++++++++++++++++- 1 file changed, 236 insertions(+), 4 deletions(-) diff --git a/docs/4_13_4_estacionaridad.md b/docs/4_13_4_estacionaridad.md index 01d304f..afc4619 100644 --- a/docs/4_13_4_estacionaridad.md +++ b/docs/4_13_4_estacionaridad.md @@ -1,6 +1,238 @@ -### Presentación +# Estacionaridad -[13 - Procesos aleatorios](https://www.overleaf.com/read/qmfpvhzfjfdy#c270c9) -### Secciones -- Estacionaridad (30 - 42) \ No newline at end of file +- Un **proceso** aleatorio se convierte en una **variable** aleatoria cuando *el tiempo se fija* en un valor particular. +- La **variable** aleatoria poseerá propiedades **estadísticas**, tales como valor medio, momentos, varianza, etcétera, relacionados con su función de densidad. +- Si **dos variables** aleatorias se obtienen del proceso para dos instantes del tiempo, tendrán propiedades estadísticas (medias, varianzas, momentos conjuntos, etcétera) relacionadas con su función de densidad conjunta. + + +> **Un proceso aleatorio se dice que es _estacionario_ si todas sus propiedades estadísticas _no cambian con el tiempo_.** + + +Otros procesos son denominados **no estacionarios**. + + +--- + + +## Estacionaridad de primer orden + + +Un proceso aleatorio es llamado estacionario de orden uno si su función de densidad de primer orden no cambia con un desplazamiento en el origen del tiempo. Es decir: + + +\[ +f_{X}(x_1; t_1) = f_{X}(x_1; t_1 + \Delta) +\] + + +Esto debe ser cierto para cualquier valor de \( t_1 \) y cualquier número real \( \Delta \). +Como consecuencia, \( f_{X}(x_1;t_1) \) es independiente de \( t_1 \) y el valor medio del proceso \( E[X(t)] \) es una constante: + + +\[ +E[X(t)] = \overline{X} = \text{constante} +\] + + +Para probar lo anterior se calculan los valores medios de las variables aleatorias \( X_1 = X(t_1) \) y \( X_2 = X(t_2) \). + + +Para \( X_1 \): + + +\[ +E[X_1] = E[X(t_1)] = \int_{-\infty}^{\infty} x_1 f_X(x_1; t_1) \, dx_1 +\] + + +Para \( X_2 \): + + +\[ +E[X_2] = E[X(t_2)] = \int_{-\infty}^{\infty} x_1 f_X(x_1; t_2) \, dx_1 +\] + + +(Solo se ha cambiado el nombre de la variable de integración por conveniencia.) + + +Si ahora se considera \( t_2 = t_1 + \Delta \): + + +\[ +\begin{aligned} +E[X(t_2)] &= \int_{-\infty}^{\infty} x_1 f_X(x_1; t_1 + \Delta) \, dx_1 \\ + &= \int_{-\infty}^{\infty} x_1 f_X(x_1; t_1) \, dx_1 \\ + &= E[X(t_1)] = E[X_1] +\end{aligned} +\] + + +Se concluye que: + + +\[ +E[X(t_1 + \Delta)] = E[X(t_1)] +\] + + +lo cual implica que el valor esperado es constante porque \( t_1 \) y \( \Delta \) son arbitrarios. + + +--- + + +## Estacionaridad de segundo orden + + +Un proceso es llamado estacionario de orden dos si su función de densidad de segundo orden cumple: + + +\[ +f_X(x_1, x_2; t_1, t_2) = f_X(x_1, x_2; t_1 + \Delta, t_2 + \Delta) +\] + + +para todo \( t_1, t_2 \) y \( \Delta \). + + +Aquí aparece una nueva relación de interés: + + +\[ +R_{XX}(t_1, t_2) = E[X(t_1)X(t_2)] +\] + + +A esto se le llama **autocorrelación de un proceso aleatorio** \( X(t) \), y en general es función de \( t_1 \) y \( t_2 \). + + +Una consecuencia importante de la ecuación anterior es que, para procesos estacionarios de segundo orden, la autocorrelación depende solo de la diferencia temporal: + + +\[ +\tau = t_2 - t_1 +\] + + +Por lo tanto: + + +\[ +R_{XX}(t_1, t_1 + \tau) = E[X(t_1)X(t_1 + \tau)] = R_{XX}(\tau) +\] + + +--- + + +## Estacionaridad en sentido amplio + + +Muchos problemas prácticos requieren conocer la función de autocorrelación y el valor medio de un proceso aleatorio. Estas soluciones se simplifican si dichas cantidades **no dependen del tiempo absoluto**. + + +La estacionaridad de segundo orden es suficiente para esto, pero suele ser más restrictiva de lo necesario. +Por eso, se utiliza una forma más relajada llamada **estacionaridad en sentido amplio**: + + +\[ +E[X(t)] = \overline{X} \quad (\text{constante}) +\] + + +\[ +E[X(t)X(t+\tau)] = R_{XX}(\tau) +\] + + +Esto se conoce como **WSS** (*Wide Sense Stationarity*). + + +### Estacionaridad conjunta + + +Dos procesos aleatorios \( X(t) \) y \( Y(t) \) son **conjuntamente estacionarios en sentido amplio** si: + + +1. Cada uno de ellos es estacionario en sentido amplio. +2. Su función de **correlación cruzada**: + + +\[ +R_{XY}(t_1, t_2) = E[X(t_1) Y(t_2)] +\] + + +solo depende de la diferencia temporal \( \tau = t_2 - t_1 \): + + +\[ +R_{XY}(t, t+\tau) = E[X(t) Y(t+\tau)] = R_{XY}(\tau) +\] + + +--- + + +## Ejemplo de estacionaridad en sentido amplio + + +Se demostrará que el proceso aleatorio + + +\[ +X(t) = A \cos(\omega_0 t + \Theta) +\] + + +es estacionario en sentido amplio si \( A \) y \( \omega_0 \) son constantes y \( \Theta \) es una variable aleatoria **uniformemente distribuida** en el intervalo \( [0, 2\pi] \). + + +El valor medio es: + + +\[ +E[X(t)] = \int_0^{2\pi} A \cos(\omega_0 t + \theta) \cdot \frac{1}{2\pi} \, d\theta = 0 +\] + + +*(Aquí seguiría el cálculo de la función de autocorrelación para comprobar que depende solo de \( \tau \), completando así la verificación de WSS.)* +La función de autocorrelación con \( t_1 = t \) y \( t_2 = t + \tau \) se convierte\footnote{Se utiliza la identidad \(\cos(x) \cos(y) = \frac{1}{2} (\cos(x-y) + \cos(x+y))\).} en + + +\[ +\begin{aligned} + R_{XX}(t, t+\tau) &= E\left[ A \cos(\omega_0 t + \Theta) \cdot A \cos(\omega_0 t + \omega_0 \tau + \Theta) \right] \\ + &= \frac{A^2}{2} E\left[ \cos(\omega_0 \tau) + \cos(2 \omega_0 t + \omega_0 \tau + 2 \Theta) \right] \\ + &= \frac{A^2}{2} \cos(\omega_0 \tau) +\end{aligned} +\] + + +La función de autocorrelación depende solamente de \(\tau\) y el valor medio es una constante, por lo que \( X(t) \) es estacionario en sentido amplio. +## Estacionaridad en sentido estricto y de orden \(N\) + + +Un proceso aleatorio es estacionario de orden \(N\) si su función de densidad de orden \(N\) es invariante ante un desplazamiento en el origen temporal; es decir, si + + +\[ +f_{X}(x_1, \ldots, x_N; t_1, \ldots, t_N) = f_{X}(x_1, \ldots, x_N; t_1 + \Delta, \ldots, t_N + \Delta) +\] + + +para todo \(t_1, \ldots, t_N\) y \(\Delta\). La estacionaridad de orden \(N\) implica estacionaridad a todos los órdenes \(k \leq N\). Un proceso estacionario a todo orden \(N = 1, 2, \ldots\) es denominado estacionario en sentido estricto. + + +--- + + +## Videos y referencias en internet + + +- ▶️ **¿Qué es un proceso estocástico?** + + + *Luis Rincón*, [https://youtu.be/Gngu2xp3exU](https://youtu.be/Gngu2xp3exU