@@ -20,8 +20,10 @@ P_A(x)\Longleftrightarrow x\in A
2020$$
2121
2222## 模型
23- 定义见[ 辨析] ( ../posts/集合论第二卷概念辨析 ) <br ><br >
23+ 定义见[ 辨析] ( ../posts/集合论第二卷概念辨析/#vdash ) <br >
24+ 尽管书上并没有明确直接指出来的定义，但是其含义的理解可以见[ 模型的理解] ( ../posts/模型为什么能存在 ) <br ><br >
2425### 引理1.12
26+ 页数：78页（书59页）<br >
2527如果$M$是传递集合，$\sigma\in(M)^{<\omega}$,$\phi$是一个表达式,那么三元关系
2628
2729$$
3638\phi (x_{0},x_{1},\dots ,x_{n})
3739$$
3840
39- 是一个彰显自由变元的解析表达式 ,那么,对于任意的 $a\in M$ 令
41+ 是一个彰显全部自由变元的解析表达式 ,那么,对于任意的 $a\in M$ 令
4042
4143$$
4244\sigma (0) = a,\sigma (1) = a_{1},\dots ,\sigma (n) = a_{n},
102104$$
103105
104106最后令$M[ G] =\{ \tau/G\mid\tau\in M^\mathbb P\} $[ ^ name ] ，而$$ (M[G],\in,\tau/G)_{\tau\in M^\mathbb P} $$ [ ^ name ]
105- 为$$ \mathcal{F}\mathcal{L}_{\mathbb{P}}\cap M $$ 的一个力迫扩张结构，一般直接用$M[ G] $来表示这个扩张结构。241页（书222页）推论3.3表明如果$M$是$ZFC$的可数模型$M[ G] $还是满足如下公理的可数传递模型（听说实际上$M[ G] $也是$ZFC$的可数模型，但是好像不是任何公理体系都有类似结论）
106- 1 . 同一性公理（定义$=$）
107- 2 . $\in-$极小原理（其他公理证明容易，这一个的证明见[ 习题] ( ../集合论习题-第二卷/#推论33 ) ）
108- 3 . 无穷公理
109- 4 . 配对公理（定义$$ \{x,y\} $$ ）
110- 5 . 并集公理
111-
107+ 为$$ \mathcal{F}\mathcal{L}_{\mathbb{P}}\cap M $$ 的一个力迫扩张结构，一般直接用$M[ G] $来表示这个扩张结构。241页（书222页）推论3.3表明如果$M$是$ZFC$的可数模型$M[ G] $实际上$M[ G] $还是$ZFC$的可数模型（但是好像不是任何公理体系都有类似结论），其中除了同一性公理、$\in-$极小原理（证明见[ 习题] ( ../集合论习题-第二卷/#推论33 ) ）、无穷公理、配对公理、并集公理，其他公理的证明均需要使用[ 真相引理] ( ../部分结论记录/#真相引理 ) 和[ 可定义性引理] ( ../部分结论记录/#可定义性引理 ) 来证明（见269页，或书250页以及后面几页）。<br ><br >
112108而且，对于任何的命题$\varphi\in\mathcal {FL}^\mathbb P$，$M[ G] $都必须对其做出判断，也就是要么$M[ G] \vDash\varphi$，要么$M[ G] \vDash(\neg\varphi)$，不能有无法判断的情况（[ 可定义性引理] ( ../部分结论记录/#可定义性引理 ) 保证）。
113109### 力迫关系
114110见[ 符号] ( #vdash-1 )
183179如果 $\phi$ 是一个语句,那么
184180
185181$$
186- ((A,E)\vDash \phi)\leftrightarrow (((A,E),\emptyset )\vDash \phi).
182+ ((A,E)\vDash \phi)\leftrightarrow (((A,E),\varnothing )\vDash \phi).
187183$$
188184
189185称 $(A,E)$ 为集合的一个结构.当$$ E=\{(a,b)\in A\times A\mid a\in b\} $$ 时,我们直接写成 $(A,\in)$ 当 $A$ 是一个非空传递集合时, $T$ 是集合论语言的一个理论,并且对于 $T$ 中的每一个语句 $\theta$ 都有
288284### 从内部定义
289285前面的那种定义我们是无法在模型$M$内部看到的，因此我们为了进行扩张必须站在一个外部的观察者的视角，这对于我们扩张我们的宇宙是不利的，所以我们也必须从内部为$\Vdash$下一个定义，这样我们后面才能从内部去扩张我们的宇宙。<br ><br >
290286递归地定义$\Vdash^* $如下：设$\tau_1,\tau_2\in V^\mathbb P$[ ^ name ]
291- 1 . $p\Vdash^{ * } \left(\tau_ {1} = \tau_ {2}\right)$当且仅当
287+ 1 . $p\Vdash^\* \left(\tau_ {1} = \tau_ {2}\right)$当且仅当
292288
293289 $$
294- \forall \sigma \in (\mathrm{dom}(\tau_{1})\cup \mathrm{dom}(\tau_{2})) \forall q\leqslant p\left[(q\Vdash^{*} (\sigma \in \tau_{1}))\leftrightarrow (q\Vdash^{*} (\sigma \in \tau_{1}))\right];
290+ \forall \sigma \in (\mathrm{dom}(\tau_{1})\cup \mathrm{dom}(\tau_{2})) \forall q\leqslant p\left[(q\Vdash^\* (\sigma \in \tau_{1}))\leftrightarrow (q\Vdash^\* (\sigma \in \tau_{1}))\right];
295291 $$
296292
297- 2 . $p\Vdash^{ * } \left(\tau_ {1}\in \tau_ {2}\right)$当且仅当集合
293+ 2 . $p\Vdash^\* \left(\tau_ {1}\in \tau_ {2}\right)$当且仅当集合
298294
299295 $$
300- D_{(p,\tau_{1},\tau_{2})} = \{q\leqslant p\mid (\exists (\sigma ,r)\in \tau_{2}((q\leqslant r)\land q\Vdash^{*} (\sigma = \tau_{1})))\}
296+ D_{(p,\tau_{1},\tau_{2})} = \{q\leqslant p\mid (\exists (\sigma ,r)\in \tau_{2}((q\leqslant r)\land q\Vdash^\* (\sigma = \tau_{1})))\}
301297 $$
302298
303299 在$p$之下稠密
304- 3 . $p\Vdash^{ * } (\neg \phi)$当且仅当$(\neg (\exists q\leqslant p[ q\Vdash^{ * } \phi ] ))$
305- 4 . $p\Vdash^{ * } (\phi \land \psi)$当且仅当$p\Vdash^{ * } \phi$以及$p\Vdash^{ * } \psi$
306- 5 . $p\Vdash^{ * } (\phi \lor \psi)$当且仅当集合$$ \{q\leqslant p\mid [q\Vdash^{*} \phi ]\lor [q\Vdash^{*} \psi ]\} $$ 在$p$之下是稠密的
307- 6 . $p\Vdash^{ * } (\phi \rightarrow \psi)$当且仅当$(\neg (\exists q\leqslant p([ q\Vdash^{ * } \phi ] \land [ q\Vdash^{ * } (\neg \psi)]] ))$
308- 7 . $p\Vdash^{ * } (\phi \leftrightarrow \psi)$当且仅当$(p\Vdash^{ * } (\phi \rightarrow \psi)\wedge p\Vdash^{ * } (\psi \rightarrow \phi))$
309- 8 . $p\Vdash^{ * } (\forall x\phi (x))$当且仅当$\forall \tau \in \mathrm{V}^{\mathbb{P}}(p\Vdash^{ * } \phi (\tau))$
310- 9 . $p\Vdash^{ * } (\exists x\phi (x))$当且仅当集合$\{ q\leqslant p\mid (\exists \sigma \in \mathrm{V}^{\mathbb{P}}(q\Vdash^{ * } \phi (\sigma)))\} $在条件$p$之下是稠密的<br >
300+ 3 . $p\Vdash^\* (\neg \phi)$当且仅当$(\neg (\exists q\leqslant p[ q\Vdash^\* \phi ] ))$
301+ 4 . $p\Vdash^\* (\phi \land \psi)$当且仅当$p\Vdash^\* \phi$以及$p\Vdash^\* \psi$
302+ 5 . $p\Vdash^\* (\phi \lor \psi)$当且仅当集合$$ \{q\leqslant p\mid [q\Vdash^\* \phi ]\lor [q\Vdash^\* \psi ]\} $$ 在$p$之下是稠密的
303+ 6 . $p\Vdash^\* (\phi \rightarrow \psi)$当且仅当$(\neg (\exists q\leqslant p([ q\Vdash^\* \phi ] \land [ q\Vdash^\* (\neg \psi)]] ))$
304+ 7 . $p\Vdash^\* (\phi \leftrightarrow \psi)$当且仅当$(p\Vdash^\* (\phi \rightarrow \psi)\wedge p\Vdash^\* (\psi \rightarrow \phi))$
305+ 8 . $p\Vdash^\* (\forall x\phi (x))$当且仅当$\forall \tau \in \mathrm{V}^{\mathbb{P}}(p\Vdash^\* \phi (\tau))$
306+ 9 . $p\Vdash^\* (\exists x\phi (x))$当且仅当集合$\{ q\leqslant p\mid (\exists \sigma \in \mathrm{V}^{\mathbb{P}}(q\Vdash^\* \phi (\sigma)))\} $在条件$p$之下是稠密的<br >
311307
312308定义的基础当然是前两条，尽管看起来前两条是递归定义的，也就是$=$和$\in$相互依赖定义，但是每一次套娃都会让名字变得“更小”，所以这样的递归是可能的。
313309#### 等价性
314310260页（书241页）引理3.19（等价力迫关系）表明，设$M$是理论$ZF-$幂集公理体系的一个可数传递模型，$\mathbb{P}\in M$是一个力迫构思。对于$p\in P$以及$\phi \in \mathcal{F}\mathcal{L}_ {\mathbb{P}}\cap M$，总有
315311
316312$$
317- \left([p\Vdash \phi \right]\iff \left(p \Vdash^{*} \phi\right)^{M})
313+ \left([p\Vdash \phi \right]\iff \left(p \Vdash^\* \phi\right)^{M})
318314$$
319315
320316---
321- 这样我们就可以在$M$中定义$\Vdash^* $，而且实际上$\Vdash^* $和$\Vdash$也是相同的，因此我们就可以在$M$内部进行力迫扩张，而不是非得依赖于外部进行扩张。
317+ 这样我们就可以在$M$中定义$\Vdash^\ *\ *
322318#### 与逻辑连接词、量词的关系
323319$\Vdash$与$\vee,\wedge$等等的逻辑连接词直接关系是几乎不影响，可以说有“交换律”。而与$\neg$的关系：$p\Vdash(\neg\theta)$当且仅当$(\neg(\exists q\leq p(q\Vdash\theta)))$ 这是由[ 真相引理] ( ../部分结论记录/#真相引理 ) 和[ 可定义性引理] ( ../部分结论记录/#可定义性引理 ) 共同保证的（主要是后面推导前面，也就是说在分支下$\theta$和$\neg\theta$必居其一）。前者保证如果有命题成立，就会有$q$去力迫这个命题。后者保证这个$q$一定会在模型$M$中。<br ><br >
324320与量词之间的关系：
@@ -351,4 +347,4 @@ $\Vdash$与$\vee,\wedge$等等的逻辑连接词直接关系是几乎不影响
351347页数：156页(书137页)<br >
352348$\operatorname{cl}(X)$指对集合$X$的哥德尔集合运算下的闭包，$\operatorname{cl}_ J(X)$则是指简朴集合运算下的闭包。
353349
354- [ ^ name ] : 关于全体名字的集合/类，书中有时使用$M^\mathbb P$（主要是在$\Vdash$中），有时又使用$V^\mathbb P$（主要是在$\Vdash^* $中），书中就十分混乱。若按字面意思理解，$M^\mathbb P$就只能表示用模型$M$中的集合构造的名字，可是实际上书中写定理也包含了由不在$M$中的的集合构造的名字，所以我也无法区分
350+ [ ^ name ] : 关于全体名字的集合/类，书中有时使用$M^\mathbb P$（主要是在$\Vdash$中），有时又使用$V^\mathbb P$（主要是在$\Vdash^* $中），书中就十分混乱。若按字面意思理解，$M^\mathbb P$就只能表示用模型$M$中的集合构造的名字，可是实际上书中写定理也包含了由不在$M$中的的集合构造的名字，所以我也无法区分
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