276. Paint Fence

[TORUS0818]

leetcode: https://leetcode.com/problems/paint-fence/description/
lintcode: https://www.lintcode.com/problem/514/

[hayashi-ay]

良いと思います。行列の解法は見てないです

[hayashi-ay]

nとkのtupleとかをキーにしてdictで管理するのが良いのかなと思います。

[hayashi-ay]

と思いましたが、そもそもkの値は固定なのでnについてだけで良いですね。

[TORUS0818]

ありがとうございます。
あ、これかなり無駄なことしてますね。。ボケてました。

[Yoshiki-Iwasa]

良さそうです

強いて言えば、num_ways_so_farの変数名は工夫の余地ありかなと
num_ways_so_farは一度値が決まったら更新されないので、so_farいるかな？という違和感です

[TORUS0818]

ありがとうございます。
確かに更新されなかったですね。

ポストを一個ずつ塗っていって、ここまではN通り、次、みたいなイメージだったのでso_farを付けたんだと思います。

[sasanquaneuf]

この式を見ると若干テクい感じに見えますが、計算量のオーダー的には以下のような事と同じです。
（再帰を上から展開していくか、桁の下の方からボトムアップに計算していくかみたいな違いです。）

import numpy as np

def fib(n):
    result = np.array([[1 , 0], [0, 1]])
    fib_array = np.array([[1 , 1], [1, 0]])
    val = 1
    while val <= n:
        val *= 2  # ビットシフト
        if n % val:  # log(val, 2)桁目のbitが立っているとき
            n -= n % val
            result = result.dot(fib_array)
        fib_array = fib_array.dot(fib_array)
    return result[0][1]

※この実装はnumpyの数値行列なのでオーバーフローがあり、実用上の価値はあまりないかもしれません。あくまでも概念的な説明でした。

[TORUS0818]

実装例もありがとうございます。

行列のn乗で計算できることから、律儀に行列をn回掛けるのでなく、（n=2^kとしてざっくり）k=logn個の道中のk乗行列を計算しておけばいいよね、ということだと理解しました。

ちょっと頂いたコードの流れがよく追えてないので少し考えてみます。。（n -= n % valあたり）

[sasanquaneuf]

これ変なコードですみません、ビットシフトの知識を前提にしない方がわかりやすいかもと思って、余計意味不明になってしまいました。。。
-=しているのは、チェックした部分までに立っているビットをすべてクリアする意図でした。
要は、fib_array ** nを、2進展開の要領でn = 2^{k_1} + 2^{k_2} + ... + 2^{k_m} みたいに分解して、積を取っています。
例えばn=10のとき、n=2^3+2^1ですが、(fib_array ** 8) * (fib_array ** 2)とするとき、このカッコの中身たちは自乗で効率的に計算ができるということでした。
このn乗を効率的に計算する方法は、フィボナッチ数列に限らず任意の行列で使えます。
（ただ、巨大数の積や大きな行列の演算は高コストなので、任意の行列などでやると、一般にはlog(n)よりも大きなオーダーになりがちだと思います）

[TORUS0818]

-=しているのは、チェックした部分までに立っているビットをすべてクリアする意図でした。
ありがとうございます。理解しました。

大きな行列の演算は高コスト
スパースな行列の場合はうまく工夫できたりと色々奥が深いですよね。

色々と詳細にありがとうございました。
またコメントよろしくお願いします！

[oda]

大きさ次第ですが、2次の正方行列の n 乗は、偶奇で場合分けして半分にしていけば、対角化しなくてもいいですね。
対角化、固有値計算、逆行列計算、次数が上がるとそれなりに重いです。

[TORUS0818]

よくよく考えるとそうですね。。
ケーリーハミルトンの定理で頑張っていた頃を思い出しました。