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chapter03.tex

@@ -557,8 +557,7 @@ \section{Flussprobleme}
                 \node (li1) at (3, -0.3) {$\in \beta(v_i)$};
             \end{tipi} \\
             Analog zu Fall 2.
-
-        \item Fall 4: 
+                \item Fall 4: 
             \begin{tipi}[baseline]
                 \node (v0) at (0, 0) {};
                 \node (vi) at (2, 0) {$v_i$};
@@ -575,3 +574,138 @@ \section{Flussprobleme}
             Analog zu Fall 1.
     \end{itemize}
 \end{beweis}
+\begin{lemma}
+Hält der Algorithmus von Fud/Fulkerson an, dann besitzt die zu diesem Zeitpunkt berechnete Flußfunktion f maximalen totalen Fluß.
+\end{lemma}
+\begin{beweis}
+Wenn der Algorithmus anhält, dann tut er dies in Schritt 3 und t wurde nicht erreicht.  Sei S die Menge der Knoten, die beim letztes Markieren markiert wurden.  Auf jeden Fall ist s $\in$ S und $t \notin S$, $\overline{S} := (V,S)$.
+
+Sei $x \rightarrow (e)y \in E_{S\overline{S}}$, dann ist f(e) = c(e) weil sonst entlang dieser kante die Markierung festgesetzt werden könnte.  x<-(p)y $\in E_{S\overline{S}}$, dann muss $f(e)=0$.  
+
+Mit Lemma 3.1 folgt F=$\sum_{e \in E_{S\overline{S}}} f(e) - \sum_{e \in E_{\overline{S}S}} f(e) =
+\sum_{e \in E_{S\overline{S}}} c(e) = c(S)$
+
+Mit Lemma 3.3 folgt F maximal.
+\end{beweis}
+
+\begin{lemma}
+Ist $c:= E \rightarrow \mathbb{N} $, so hält der Algorithmus immer an.
+\end{lemma}
+
+\begin{beweis}
+ist $c:= E \rightarrow \mathbb{N} $ so wird in jedem Durchlauf der totale Fluß um eine natürliche Zahl $\Delta$ erhöht.  Andererseits gilt $F \leq c(S)$ für eine beliebige Menge $S \subseteq V$, $s \in S$, $t \notin S$
+\end{beweis}
+
+\begin{beispiel}
+Frage: c: E $\rightarrow$ Reele Zahlen : V
+
+Beispiel: Kosten können sehr hoch werden im Fall $c:E \rightarrow \mathbb{N} $
+%					a		
+%	10^6/0			10^6/0
+%s			1/0				t			F = 2*10^6
+%	10^6/0			10^6/0
+%				b
+
+1. Markierung: $ s \rightarrow a \rightarrow b \rightarrow t, \Delta = 1$
+
+2. Markierung: $ s \rightarrow b \rightarrow a \rightarrow t, \Delta = 1$
+
+insgesamt $2*10^6$ Markierungssequenzen, d.h. Abhängigkeit von der kapazität.
+\end{beispiel}
+
+\begin{definition}
+Satz von Edmond und karp:
+
+Verwendet BFS beim Markieren und wählt jeweils den kürzesten Anreichungspfad, dann terminiert der Algorithmus in $O(|V|^3*E)$ Schritten. (Vorausgesetzt die vorkommenden reellen Zalen können jeweils in einem Schritt bearbeitet werden.
+
+\end{definition}
+
+\begin{beispiel}
+x sei große Zahl, $x \in \mathbb{N}$, $\phi:= ( \sqrt{5}-1)/2$ (Lösung von $x^2+x-1=0$).  
+
+Insbesondere gilt: $\phi^2+ \phi-1=0$, also $\phi^(k+1)+ \phi^k = \phi(k-1)$, $k \ge 1$
+%				a
+%							  x/phi->
+%	x->			1/phi<-			
+%s	  x/1->		b						t
+%				1/1-phi->	  x/1->
+%				c	
+%	x->			phi/phi<-	 x->
+%	
+%	
+%			d
+
+$F= 2x +1$
+
+$1+2* \sum_{k=1}^{\infty} \phi^k = 1 + 2*(1/(1-\phi)) = 4 + \sqrt{5} <7$
+
+Typ0: Weg $s \rightarrow b \rightarrow c \rightarrow t : \Delta =1$
+
+Typ1: Weg $s \rightarrow d \rightarrow c \rightarrow b \rightarrow a \rightarrow t 1: \Delta = \phi, 2:\Delta = 1-\phi = \phi^2$
+
+Typ2: Weg $s->b->c<-d->t : \Delta = \phi$
+
+Typ3: Weg $s->a<-b->c->t : \Delta = 1:\phi^2$
+
+Reihung 0,1,2,1,3
+
+Berechnet:$ \Delta =1, \Delta = \phi, \Delta = \phi, \Delta = \phi^2, \Delta = \phi^2$
+\end{beispiel}
+\begin{definition}
+Sei e eine Kante mit Flußwert $f(e)$.  e heißt nützlich von u nach v, wenn gilt:
+\begin{enumerate}
+	\item $u \rightarrow^e$ und $f(e) < c(e)$
+	\item $u \leftarrow^e v$ und $f(e) > 0$
+\end{enumerate}
+Eine Schichtung für ein Netzwerk (mit $G=(V,E)$, $c:E \rightarrow \mathbb{R}$, $s,t \in V$) und eine Flußfunktion $f$ ist definiert wie folgt:
+\begin{enumerate}
+	\item $V_{0}:= {s}$, $i:=0$
+	\item T:={$v:v \notin V_{j}$ für $j \le i$ und es existiert eine nützliche Kante von einem Knoten aus $V_{i}$ zu v}
+	\item ist $T = \emptyset$ dann ist der jetzige totale Fluß (d.h. der von $f$) maximal, halte an.
+	\item Ist $t \in T$, setzte $l_{i} = i+1$, $V_{l} = {t}$, halte an
+	\item $V_{i+1} := T$, $i:=i+1$ und gehe zu 2)
+\end{enumerate}
+\end{definition}
+\begin{beispiel}
+	\begin{center}
+        \begin{tipi}
+            \node (s) at (0, 0) [draw, shape=circle] {$s$};
+            \node (b) at (1.25, 1.25) [draw, shape=circle] {$b$};
+            \node (c) at (3, 1.25) [draw, shape=circle] {$c$};
+            \node (d) at (1.25, -1.25) [draw, shape=circle] {$d$};
+            \node (e) at (3, -1.25) [draw, shape=circle] {$e$};
+            \node (t) at (4.25, 0) [draw, shape=circle] {$t$};
+
+            \draw[->] (s) -- (b);
+            \draw[->] (s) -- (d);
+            \draw[->] (b) -- (d);
+            \draw[->] (b) -- (c);
+            \draw[->] (c) -- (d);
+            \draw[->] (d) -- (e);
+            \draw[->] (c) -- (t);
+            \draw[->] (e) -- (t);
+			\draw[->] (e) -- (c);
+
+            \node (l1) at (0.75, 0.4) {$e_1$};
+            \node (l2) at (0.75, -0.4) {$e_2$};
+            \node (l3) at (2.125, 1.05) {$e_4$};
+            \node (l6) at (2.125, -1.05) {$e_6$};
+            \node (l8) at (3.5, -0.4) {$e_8$};
+            \node (l4) at (2.75, -0.4) {$e_9$};
+            \node (l5) at (1.0, 0.0) {$e_3$};
+            \node (l7) at (3.5, 0.4) {$e_7$};
+			\node (l9) at (2.125, 0.4) {$e_5$};
+
+            \node(f1) at (0.25, 0.75) {$\nicefrac{5}{1}$};
+            \node(f2) at (0.25, -0.75) {$\nicefrac{4}{1}$};
+            \node(f6) at (2.125, -1.55) {$\nicefrac{3}{1}$};
+            \node(f4) at (2.125, 1.55) {$\nicefrac{3}{1}$};
+            \node(f8) at (3.9, -0.9) {$\nicefrac{5}{1}$};
+            \node(f7) at (3.8125, 0.8125) {$\nicefrac{3}{1}$};
+            \node(f3) at (1.55, 0.4) {$\nicefrac{1}{0}$};
+            \node(f9) at (3.30, 0.0) {$\nicefrac{1}{0}$};
+			\node(f5) at (2.1, -0.53) {$\nicefrac{2}{0}$};
+        \end{tipi}
+    \end{center}
+	Fuer dieses Beispiel sollten die Studenten die Schichtenbildung durchfuehren.
+\end{beispiel}