779. K-th Symbol in Grammar

[fhiyo]

https://leetcode.com/problems/k-th-symbol-in-grammar/description/

[hayashi-ay]

良いと思います。

[SuperHotDogCat]

良いと思います。

[Mike0121]

assumptionは不要な気がしました。(意図的だったらすみません。)

[fhiyo]

一応意図的ではありました 🙏
この変数あった方が分かりやすいかな？と思って書きましたが諸説あるかも...

[TORUS0818]

これってどういう計算でしょうか。

最悪n-1回再起呼び出しがあって、whileループが最初n-1回から1つずつ減っていって、
(n-1) + (n-2) + ... + 1 = (n-1)(n-2)/2 で
時間がO(n^2)で、空間がO(n)かなと思いましたが勘違いしてますかね。

[oda]

たぶん何を n としているかが違っていて、桁数ではなくて引数の n 自体のことでしょう。
それだと空間は確かに O(log n) ですね。関数の呼び出しスタックがあります。

[fhiyo]

O(1)は明らかに変ですね、ありがとうございます。

桁数ではなくて引数の n 自体のことでしょう

そのつもりで書きましたが、改めて考えるとよくわからなくなりました。 1 <= k <= 2**n - 1 の条件から、

空間計算量: k/2 <= power < k から k-power <= k/2 なので、kは再帰のたびに少なくとも半分に減っていくので再帰の数はO(log k), つまりO(n) で抑えられる。

時間計算量: 関数呼び出しのたびに毎回ln k 回ループを回すので、i番目の再帰のときのkの数をk(i)とすると、

$$ \begin{align} &\ln k(0) + \ln k(1) + ... + \ln k(a)\ (k(a) = 1) \\ &= \sum_{i=0}^{a} \ln k(i) \\ &\approx \sum_{i=0}^{a} \ln k/2^i \\ &= \sum_{i=0}^{a} \ln k - i \\ &= (a+1)\ln k - (1/2) * a(a+1) \\ \end{align} $$

a = O(log k) = O(n) なので、O((log k)^2) = O(n^2)

なのかなと計算して思いましたが、自信はないです